1 Ungleichungen.
Die nichtlineare Ungleichungen sind zweifellos ein subtiler Bestandteil der voranalysischen Mathematik.
Ungleichungen werden wie folgt gelöst: Alle Terme werden zunächst auf die linke Seite der Ungleichung gebracht. Um zu beurteilen, für welche x Werte die linke Seite > (positiv) bzw. <(negativ) Null ist, müssen die Terme als Produkt (bzw. Quotient) dargestellt werden.
Beispiel:
3x > 5 - 2x2 (1)
2x2+ 3x - 5 > 0 ⁄ 2 (2)
x2 + 3x/2 -5/2> 0 (3)
Um diesen Term in Produktform umzuwandeln, müssen wir die Binomische Formel a2+2ab+b2 =(a + b)2 im Anspruch nehmen.
Also verwenden wir die sogenannte "Quadratische Ergänzung"
x2 + 2*x*3/4+(3/4)2 -(3/4)2-5/2> 0 (4)
x2 + 2*x*3/4+(3/4)2-9/16-40/16> 0 (5)
(x +3/4)2 -(7/4)2> 0 (6)
Jetzt kommt die Binomische Formel a2 - b2 = (a - b)(a + b) im einsatz,
wobei a = (x +3/4); b =7/4
(x +3/4)2-(7/4)2=(x +3/4-7/4)(x +3/4+74)= (x -1)(x +5/2)> 0 (7)
Ein Produkt wird größer als Null (positiv) wenn die Faktoren gleichen Vorzeichen besitzen, also (+)*(+)=(+) oder (-)*(- ) = (+).
Also müssen wir zwei Fälle erörtern:
Fall1.
(x - 1) > 0 →x > 1
(x +5/2)> 0 → x > -5/2
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Die Lösung im Fall1: x > 1 (ist gültig auch für x > -5/2 aber nicht umgekehrt!!) 
Fall2.
(x-1) < 0 ⇒ x < 1
(x+5/2) < 0 ⇒ x < -5/2
Die Lösung im Fall2: x < -5/2 (ist gültig auch für x < 1 aber nicht umgekehrt!!)
Die entgültige Lösung ist:
x <- 5/2 V (oder) x > 1 .
