Einführungsaufgabe:
1 Betrags(Un)Gleichunen
1.1 Einführung
Die erste Schwierigkeit bei Lösung dieser Aufgaben besteht darin: wie man sich
”vernünftig” von den Betragssymbolen befreit. Ausgangspunkt ist die Definition des
Betrags Begriff:
|x| = x (wenn x > 0)
= −x (wenn x < 0 ist ) (1)
Im Klartext sagt die Formel: Ist der Inhalt des Betrages positiv dann ändert sich
nichts, wenn er aber negativ ist, dann nehmen wir ihn mit minus Vorzeichen.
Fazit: der Wert eines Betrages ist immer positiv! Am Anfang des Lösungsvorgangs
überprüfen wir die ”‘Wertigkeit” der jeweiligen Beträge im entsprechenden Geltungsbereichen.
Die letzten werden durch Nullstellen bestimmt.
Wie das praktisch gemacht wird zeigen wir das Prinzip mit einem Beispiel - einfacher
halber eine lineare Betragsgleichung:
| x + 7 |=| 2x − 3 | (a)
Nullstellen und Geltungsbereiche:
x + 7 = 0 ⇒ x = −7
2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2
wir haben drei Geltungsbereiche und zwar
x < −7 ,−7 < x < 3/2, x >3/2
I. Im ersten Bereich
überprüfen wir die Wertigkeit der beiden Beträge für x < −7
z.B. x = −8
| −8 − 7 |=| −15 |
der Inhalt des Betrages ist negativ also kommt er aus dem Betragssymbol mit minus
Zeichen herraus ( gemäss der Definition(1))
| x + 7 |= −(x + 7) = −x − 7
auf die gleiche Weise überprüfen wir den zweiten Betrag
| 2(−8) − 3 |=| −19 | negativ, also auch mit minus Vorzeichen
| 2x − 3 |= −(2x − 3) = −2x + 3
usere Gleichung(im ersten Bereich) sieht so aus
| x + 7 |=| 2x − 3 |= −x − 7 = −2x + 3 und die Lösung x1 = 10
II. Im zweitem Bereich für −7 < x < 3/2
z.B. x = 0
| 0 + 7 |=| 7 | positiv also | x + 7 |= x + 7
| 2 * 0 − 3 |=| −3 | negativ also | 2x − 3 |= −(2x − 3) = −2x + 3 und die Gleichung:
x + 7 = −2x + 3
x2 = −4/3
III. Der dritte Bereich gilt für x > 3/2
z.B x = 2
| 2 + 7 |= 9 positiv also | x + 7 |= x + 7
| 2 * 2 − 3 |= 1 auch positiv, also | 2x − 3 |= 2x − 3
und die Gleichung im dritten Bereich
x + 7 = 2x − 3
x3 = 10
die gleiche Lösung wie im ersten Bereich. Am Ende haben wir zwei Lösungen gefunden:
L : x1 = 10 , x2 = −4/3
Die Kontrolle
darf man natürlich nicht vergessen bzw Vernachlässigen.
Unsere Lösungen müssen wir in der Ausgangsgleichung (a) einsetzen
x1 = 10
| 10 + 7 |=| 2 * 10 − 3 |
17 = 17
x2 = −4/3
| −4/3+ 7 | = | 2 * (−4/3 ) − 3 |
|17/3| = |-17/3|
17/3 = -(-17/3)
17/3 = 17/3
Q.e.d